「积分」基础积分计算笔记

积分通常分为 不定积分定积分

定积分

f 是在区间 [a, b] 上有定义的非负函数, 那么 f(x) 所代表的曲线与 x 坐标轴跟两条垂直线 x=a x=b 所夹曲边梯形的面积可以表示为

\int_a^b f(x) \text dx

使用 微积分基本定理 可以计算出上面的值

微积分基本定理

微积分基本定理分为两部分:

  1. 给定任一连续函数,可以利用积分构造出该函数的 原函数 (也叫反导函数)。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数的原函数的 存在性
  2. 某函数的 定积分 可以用该函数的原函数来计算

第一部分

对于在 \mathbb R 上的一段区间 [a, b] 有定义的连续函数 f , 对于 x\in [a, b] , 令

F(x)=\int_a^xf(t)\text dt

那么 F 在区间 [a, b] 上连续, 在区间 (a, b) 上可微, 且 \forall x \in [a, b] , 有

F'(x) = f(x)

第二部分

对于满足 第一部分 的定义在 [a, b] 上的连续函数 F, f 当且仅当 f 是黎曼可积函数时, 有

\int _ { a } ^ { b } f ( t ) \text d t = F ( b ) - F ( a )

也可以记为

\int _ { a } ^ { b } f ( t ) \text d t = F ( b ) - F ( a ) = \left. F ( x ) \right| _ { a } ^ { b }


什么是 黎曼可积?

下面给出 Wikipedia 上的定义:

S 是函数 f 在闭区间 [a,b] 上的黎曼积分,当且仅当对于任意的 \epsilon >0 ,都存在 \delta >0 ,使得对于任意的取样分割 x_{0},\ldots ,x_{n} t_{0},\ldots ,t_{n-1} ,只要它的子区间长度最大值 \lambda \leq \delta ,就有:

\left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } f \left( t _ { i } \right) \left( x _ { i + 1 } - x _ { i } \right) - S \right| < \epsilon

也就是说,对于一个函数 f ,如果在闭区间 [a,b] 上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数 f 的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么 f 在闭区间 [a,b] 上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数 f 黎曼可积

性质

线性

积分是 线性 的。如果一个函数 f 可积, 那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数 f g 可积, 那么它们的和与差也可积, 也就是

\int _ { \mathcal { I } } ( \alpha f + \beta g ) = \alpha \int _ { \mathcal { I } } f + \beta \int _ { \mathcal { I } } g

介质

对于一个在 \mathcal I 上可积且最大值为 \text{max} , 最小值为 \text{min} 的函数 f , 有

\text{min}\times L(\mathcal I)\leq \int_{\mathcal I}f\leq \text{max}\times L(\mathcal I)

L(\mathcal I) 表示区间 \mathcal I 的长度

柯西不等式

柯西不等式的连续版本

\left( \int _ { \mathcal { I } } ( f g ) ( x ) d x \right) ^ { 2 } \leq \left( \int _ { \mathcal { I } } f ( x ) ^ { 2 } d x \right) \left( \int _ { \mathcal { I } } g ( x ) ^ { 2 } d x \right)

例题

#1

\int _ { 0 } ^ { 3 } x ^ { 2 } \text d x

首先构造 f(x) = x ^ 2 的原函数 F , 根据简单求导公式, 当 F(x) = x ^ 3 时, F'(x) = 3\times x^2 , 故当且仅当 F(x) = \frac 1 3 x^3 时, F'(x) = f(x) = x ^ 2

故得到

\begin{align}\int _ { 0 } ^ { 3 } x ^ { 2 } \text d x&=F(3) - F(0)\\&=\frac 1 3\times 3^3-\frac 1 3\times 0^3=9\end{align}

#2

不定积分

定义

函数 f 不定积分 也叫做 原函数, 反导函数, 是一个可导函数 F 且其导数等于原来的函数 f , 也就是 F'=f , 通常表示为

\int f(x)\text dx=F(x)

积分表

下面是常用函数积分表 (From Wikipedia)

\begin{array} { l } { \int ( a x + b ) ^ { n } \mathrm { d } x = \frac { ( a x + b ) ^ { n + 1 } } { a ( n + 1 ) } + C } \\ { \int \frac { 1 } { a x + b } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { a } \ln | a x + b | + C } \\ { \int \frac { x } { a x + b } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ( a x + b - b \ln | a x + b | ) + C } \\ { \int \frac { x ^ { 2 } } { a x + b } \mathrm { d } x = \frac { 1 } { 2 a ^ { 3 } } \left[ ( a x + b ) ^ { 2 } - 4 b ( a x + b ) + 2 b ^ { 2 } \ln | a x + b | \right] + C } \\ { \int \frac { 1 } { x ( a x + b ) } \mathrm { d } x = - \frac { 1 } { b } \ln \left| \frac { a x + b } { x } \right| + C } \\ { \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } ( a x + b ) } \mathrm { d } x = \frac { a } { b ^ { 2 } } \ln \left| \frac { a x + b } { x } \right| - \frac { 1 } { b x } + C } \end{array}

\begin{array} { l } { \int \cos x \mathrm { d } x = \sin x + C } \\ { \int \sin x \mathrm { d } x = - \cos x + C } \\ { \int \sec ^ { 2 } x \mathrm { d } x = \tan x + C } \\ { \int \csc ^ { 2 } x \mathrm { d } x = - \cot x + C } \\ { \int \sec x \tan x \mathrm { d } x = \sec x + C } \\ { \int \csc x \cot x \mathrm { d } x = - \csc x + C } \\ { \int \tan x \mathrm { d } x = - \ln | \cos x | + C = \ln | \sec x | + C } \\ { \int \cot x \mathrm { d } x = \ln | \sin x | + C } \\ { \int \sec x \mathrm { d } x = \ln | \sec x + \tan x | + C } \\ { \int \csc x \mathrm { d } x = \ln | \csc x - \cot x | + C = \ln \left| \frac { \tan x - \sin x } { \sin x \tan x } \right| + C } \end{array}

以及一些常用的带平方的积分

\begin{aligned} \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \mathrm { d } x = & \frac { \arctan \frac { x } { \alpha } } { \alpha } + C \\ \int \frac { 1 } { \pm x ^ { 2 } \mp \alpha ^ { 2 } } \mathrm { d } x & = \frac { \ln \left( \frac { x \mp \alpha } { \pm x + \alpha } \right) } { 2 \alpha } + C \end{aligned}

tips: 不要过分依赖积分表(虽然很多情况也用不着)

例题

#1

\int (x^2+2x-1)\text dx

#2

\int {\text dx\over \cos x}

t = \sin x , 有

\begin{align}\int {\text dx\over \cos x}&=\int {\cos x\text dx\over \cos^2 x}\\&=\int {\cos x\text dx\over 1-\sin^2x}\\&=\int {\cos x\text dx\over 1-t^2}\end{align}

由于 \cos x\text dx=\text dt (可以对两边积分检验), 所以

\begin{align}\int {\text dt\over 1-t^2}&=\frac 12{\ln({1+t\over 1-t})}+C\\&=\frac 12\ln({(1+t)(1+t)\over (1+t)(1-t)})\\&=\frac 12\ln({(1+t)^2\over 1-t^2})+C\\&=\ln(\sqrt{(1+\sin x)^2\over 1-\sin^2x})+C\\&=\ln({1+\sin x\over \cos x})+C\end{align}

到这里就结束了. 当然, 将 {1+\sin x\over \cos x} 拆成 \sec x+\tan x 也是可以的

#3

\int \ln x\text d x

分部积分法.

\int f ( x ) g ' ( x ) \text d x = f ( x ) g ( x ) - \int f' ( x ) g ( x ) \text d x

f(x)=\ln (x), g(x)=x 即可得出

#4

\int \sin(\sqrt x)\;\text d x

t = \sqrt x , 有

\int \sin(\sqrt x)\;\text dx=\int \sin(t)\;\text dx

由于 t^2=x , 故 \text dx=2t\;\text dt

所以

\begin{align}\int \sin(\sqrt x)\;\text dx&=\int \sin(t)\;\text dx\\&=\int 2t\sin(t)\;\text dt\end{align}

然后直接分部积分即可

#5

\int e^x\sin x\;\text dx

直接分部积分

\begin{align}\int e^x\sin x\;\text dx&=e^x\sin x-\int e^x\cos x\;\text dx\\&=e^x\sin x-\int \cos x\;\text d(e^x)\end{align}

将右面的那个式子再次分部积分,

\begin{align}\int e^x\sin x\;\text dx&=e^x\sin x-\int e^x\cos x\;\text dx\\&=e^x\sin x-\int \cos x\;\text d(e^x)\\&=e^x\sin x-(e^x\cos x+\int e^x\sin x\;\text dx)\\&=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\;\text dx\end{align}

然后把右面的 \int e^x\sin x\;\text dx 移到左边

于是就得到了

\int e^x\sin x\;\text dx=\frac 12e^x(\sin x-\cos x)+C


未完待续

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