「数学」Jensen不等式初探

Jensen 不等式

对于一个在 [a,b] 上凸 函数 f (也就是 \forall x \in [a, b], f''(x) < 0 ), 则对于 a_1,a_2,\cdots,a_n\in [a,b] , 有

f\left({\sum _ {i = 1} ^ {n} a _ i \over n}\right)\geq \frac 1 n \sum _ {i = 1} ^ {n}f\left(a_i\right)

当且仅当 a _ 1 = a _ 2 = \cdots = a _ n 时成立

f [a,b] 上为 下凸 函数时, 不等号反向

例题

下面是关于 Jensen 不等式的一些基础应用

三角不等式

#1

\angle A,\angle B,\angle C \triangle \text{ABC} 的内角, 求证:

\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac 3 2\sqrt 3

Solution

f(x)=\sin x, x \in (0,\pi) , 则 f''(x)=-\sin(x)<0

f(A)+f(B)+f(C)\leq 3\times f({A + B + C\over 3})

由于 \angle A,\angle B,\angle C \triangle \text{ABC} 的内角, 故 \angle A+\angle B+\angle C=\pi 所以

\begin{align}f(A)+f(B)+f(C)&\leq 3\times f({A + B + C\over 3})\\&=3\times f(\frac \pi 3)\\&=3\times \frac {\sqrt 3} 2=\frac 3 2 \sqrt 3\end{align}

\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac 3 2\sqrt 3

#2

\angle A,\angle B,\angle C \triangle \text{ABC} 的内角, 求证:

\cos \frac A 2+\cos \frac B 2+\cos \frac C 2 \leq \frac 3 2\sqrt 3

Solution

f(x) = \cos \frac x 2, x\in (0,\pi) , 则 f''(x)=-\frac 1 4\cos (\frac 1 2 x)<0

\begin{align} f(A) + f(B) + f(C) & \leq 3 \times f({A + B + C\over 3}) \\ & = 3 \times f(\frac 1 3 \pi) \\ & = 3\times \cos \frac 1 6 \pi = \frac 3 2 \sqrt 3\end{align}

\cos \frac A 2+\cos \frac B 2+\cos \frac C 2 \leq \frac 3 2\sqrt 3

§2

大概都是同一种trick

#1

「基本不等式」

对于 x_1,x_2,\cdots,x_n\in \mathbb R^+ , 求证

{\sum_{i = 1}^n x_i\over n}\geq \sqrt[n] {\prod_{i=1}^na_i}

Solution

一个比较显然的 trick 是根据 \ln 的单调性对两边取 \ln , 也就是

\begin{align} {\sum_{i = 1}^n x_i\over n}&\geq \sqrt[n] {\prod_{i=1}^na_i}\\\ln\left({\sum_{i = 1}^n x_i\over n}\right)&\geq \ln\left(\sqrt[n] {\prod_{i=1}^na_i}\right)\\&=\frac 1 n \sum_{i=1}^n\ln\left(a_i\right)\end{align}

然后问题就十分清晰明了了:

f(x) = \ln x, x \in \mathbb R^+ , 根据Jensen不等式即可得证

#2

对于 x_1,x_2,\cdots,x_n>0, \sum_{i=1}^n x_i=1 , 求证

\prod _ {i = 1} ^ n \left( x _ { i } + \frac { 1 } { x _ { i } } \right) \geq \left( n + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n }

Solution

对两边取 \ln , 有

\sum _ {i = 1} ^ n \ln\left( x _ { i } + \frac { 1 } { x _ { i } } \right) \geq n \ln \left( n + \frac { 1 } { n } \right)

这与题目中的不等式是等价关系, 故证明该不等式即可, 于是令 f(x)=\ln\left(x+\frac 1 x\right),x\in (0,1) , 其二阶导为 f''(x) = -{x ^ 4 - 4 x ^ 2 - 1 \over x ^ 6 + 2 x ^ 4 + x ^ 2} (0,1) 上恒大于零

\begin{align}\sum _ {i = 1} ^ n \ln\left( x _ { i } + \frac { 1 } { x _ { i } } \right) &\geq n \ln \left( { \sum _ {i = 1} ^ n x_i\over n} + { n \over \sum _ {i = 1} ^ n x _ i } \right) \\ & = n \ln (n + \frac 1 n)\end{align}

§3

#1

对于 x, y\in \mathbb R^+ , 有 x ^ 2 + y ^ 2 = 1 求证 x^3 + y ^3\geq \sqrt 2 xy

Solution

考虑如何用Jensen来解决, (当然, 使用其他不等式技巧可以很快得出), 首先转化问题:

\begin{align} \quad x ^ 3 + y ^ 3 &\geq \sqrt 2 x y \\ {x ^ 2 \over y} + {y ^ 2 \over x} & \geq \sqrt 2 \\ {1 - y ^ 2 \over y} + {1 - x ^ 2 \over x} & \geq \sqrt 2 \\ \frac 1 y - y + \frac 1 x - x & \geq \sqrt 2\end{align}

至此, 就显然明了了

f ( x ) = \frac 1 {\sqrt x} - \sqrt x , 易得到 f''(x) > 0

于是

\begin{align} {f ( x ^ 2 ) + f ( y ^ 2 ) \over 2} &\geq {f \left( { x ^ 2 + y ^ 2 \over 2}\right)} \\ & = f( \frac 1 2 ) = \frac {\sqrt 2} 2\end{align}

就得到上面题面化简后的式子了

#2

a,b,c\geq 0 a + b + c = 3 , 求证

\frac 1 {a ^ 2 + 3} + \frac 1 {b ^ 2 + 3} + \frac 1 {c ^ 2 + 3} + \frac {ab + bc + ac} {16} \leq \frac {15} {16}

Solution

看似不好证明, 其实只要作简单的化简即可得到Jensen不等式的形式

\begin{align} ab + bc + ac & = {2ab + 2bc + 2ac\over 2} \\ & = {a ( b + c ) + b ( a + c ) + c (a + b)\over 2} \\ & = {9 - (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) \over 2} \end{align}

剩下的就留给读者作为练习了(笑

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